几年前"关于12球的智力题"

麦田守望者

这是一个比较经典的数学题，可能很多同学知道答案，如果知道请不要声张，让其它有兴趣的同学做做吧。
有12个球，外观没有区别。知道其中一个不合格（不知道是轻了还是重了），其它11个的重量一样。唯一可以使用的工具是一台天平。请用天平称三次找出不合格的球。

大呼

12个球随机分成3组如下：
A:A1,A2,A3,A4;
B:B1,B2,B3,B4;
C:C1,C2,C3,C4;
把A组和B组分别放在天平的两端，出现情况如下：
1）A组和B组相等，则表明异球在C组；
然后取A1,A2,A3和C1,C2,C3再放在天平两端，出现
1.1)A1,A2,A3和C1,C2,C3相等则C4是异球；
1.2)A1,A2,A3和C1,C2,C3不等，则可知异球在C1,C2,C3内，并且知道是重了还是轻了；
然后把C1,C2放在天平两端，出现
1.1.1相等，则异球是C3；
1.1.2不等，根据轻重可判断是C1还是C2;

2）如果A组和B组不等（假如>），则取
A1,A2,A3,B1和B2,B3,B4,C1放在天平的两端，出现
2.1） 如果相等，则异球是A4;
2.2)如果不等,且<,则异球是B1；
2.3)如果不等,且>，则异球在A1,A2,A3中且知道轻重，
再取A1,A2放在天平两端，
如相等，则异球是A3;
如不等根据轻重可以判断出。
3）如果A组和B组不等（假如<），和2)同理。

蓝臭臭

学习了！个人认为很有道理，不知道是不是正解。

[ 本帖最后由 Xiao_0 于 2007-9-14 15:54 编辑 ]

何去飞

1平分取轻的组
2轻的组再平分,再取轻的组
现在还剩下较轻的那一组,共有三球
3任取两个称,若品质相等就是剩下的球为轻的,若不一样重,那轻的就是了

老鹰

楼主未看清题意（不合格球不知道是大于还是小于标准），请再仔细看看。

笨者天下

i agree your method

锤子

这道题目我认为是很难的。因为我没有独立做出来。

看了人家的答案，也是过了好久才弄明白的。


当然，看过了答案以后，懂了，以后就一直会做了。

[ 本帖最后由 香川群子 于 2007-9-24 13:00 编辑 ]

锤子

关于12球中，有一球重量不同，使用天平秤，比较三次就能找出重量不同的球的问题，非常的具有逻辑性，公布标准答案和解答思路如下：


请注意，解答的关键是每一个步骤结论都要一分为三，而不是普通的一分为二的简单判断。

一。12球分按顺序编号后平均分为三组。（注意关键词“三”）
即1，2，3，4为第一组，5，6，7，8为第二组，9，10，11，12为第三组。

二。把第一组和第二组放在天平秤两端比较，会有三种可能的结果。（注意关键词“三”）
即A.两边一样重，B.左边第一组重（即右边第二组轻），C.左边第一组轻（即右边第二组重）。

三。每一种可能的结果，都要继续三分析下去：

A.两边一样重，那么确定重量异常的必在第三组中。
因此，取第一或第二组中任一球（该球应为标准重量，我们假定就取8号球）和第三组中9号球为一组，以及第三组中的10号和11号为另一组（留下第三组12号球暂不用），放在天平秤两端比较，又会有三种可能的结果。（注意关键词“三”）

即a.两边一样重，b.左边8，9号球重（即右边10，11号球轻），c.左边8，9号球轻（即右边10，11号球重）。

如果a.两边一样重，那么确定重量异常的就是剩下的12号球了。
到这时我们一共称了二次，确定了重量异常的是12号球，但是还不知道相对于标准球来说，是轻还是重。

因此，第三次我们任取1-11号球中的一个（它们都是标准重，我们假定就取11号球）和12号球做比较，
这时结果只有二种了：
1.左边重（即右边12号球轻）
2.左边轻（即右边12号球重）。

写得很详细了，是否有点啰嗦？

下午继续。


继续：

三。把第一组1-4和第二组5-8放在天平秤两端比较，
A.两边一样重时，
取8号球和第三组中9号球为一组，以及10号和11号为另一组比较，结果为：

b.左边8，9号球重（即右边10，11号球轻）时，

那么，判断重量异常的在9，10，11号球中，12号球是正常重量（1-8号球已经判断是正常重量）。
最后一次这样来称，把10号和11号放在天平秤两端比较，又会有三种可能的结果。（注意关键词“三”）

即
1.两边一样重，
表明10号和11号球同重，并且是正常重量，因此，重量异常的只能是9号球了。
另外，前面第二次称时左边重，即8号加上9号重，由于8号为正常重量，
因此，最后的结论，9号球重。

2.左边10号球重（即右边11号球轻），
表明重量异常是在10号或11号球中，
由于前面第二次称时表明问题应该是10号或11号球轻，
因此，最后的结论，11号球轻。

3.左边10号球轻（即右边11号球重），
表明重量异常是在10号或11号球中，
由于前面第二次称时表明问题应该是10号或11号球轻，
因此，最后的结论，10号球轻。

待续。






继续：

三。把第一组1-4和第二组5-8放在天平秤两端比较，
A.两边一样重时，
取8号球和第三组中9号球为一组，以及10号和11号为另一组比较，结果为：

c.左边8，9号球轻（即右边10，11号球重），

那么，判断重量异常的在9，10，11号球中，12号球是正常重量（1-8号球已经判断是正常重量）。
最后一次这样来称，把10号和11号放在天平秤两端比较，又会有三种可能的结果。（注意关键词“三”）

即
1.两边一样重，
表明10号和11号球同重，并且是正常重量，因此，重量异常的只能是9号球了。
另外，前面第二次称时左边轻，即8号加上9号轻，由于8号为正常重量，
因此，最后的结论，9号球轻。

2.左边10号球重（即右边11号球轻），
表明重量异常是在10号或11号球中，
由于前面第二次称时表明问题应该是10号或11号球重，
因此，最后的结论，10号球重。

3.左边10号球轻（即右边11号球重），
表明重量异常是在10号或11号球中，
由于前面第二次称时表明问题应该是10号或11号球重，
因此，最后的结论，11号球重。

待续。






由于12球中有一球重量异常，包括轻、重两种状态，因此一共有12 x 2 = 24 种不同的可能性存在。

上面只是说了在9，10，11，12号球中有重量异常的8种可能性及其判断方法和判断过程，

但是如果重量异常的球在1-8号中出现时，判断的方法可就不那么直接和简单了，
需要运用运筹学原理，进行事先的逻辑结果判断分析，才能进行最后的结果判断。

明天继续分析。



12球的解法，已经早有答案公布，并且还有几种稍有不同的做法，但解题原理是一样的。


我在这里还要不厌其烦的反复说，是因为已公布的答案虽然很正确，但由于答案过于简洁，一般人并不容易看懂，我看第一遍时，往往也会看不下去，要经常停下来想一想，想通了再继续下去。

另外，对于解题的思路和理论依据，基本上都没有说明，使得普通人可能会过一段时间以后就又忘记了这个题目的解法了。


继续

当重量异常的球在1-8号中出现时，判断的方法可就不那么直接和简单了，
需要运用运筹学原理，进行事先的逻辑结果判断分析。


首先，再次使用三分法。

前面，我们第一次天平秤比较时不相等，因此判断问题球肯定在1-8号球中，同时9-12号球肯定是标准重了。

因此，我们把标准重的9号球加入1-8号球中，一共有9个球，分三组，那就是三个球一组。（又是三噢）
即1，2，3号球为第一组，4，5，6号球为第二组，7，8，9号球为第三组。

只有第三组中的9号球，是已经确定为标准重的正常球。

所以，我们第二次使用的判断方式是，
取第二组4，5，6号球，和第三组7，8，9号球放在天平秤两端作比较。

当然会有三种可能的结果。（注意关键词“三”）
即A.两边一样重，B.左边第二组重（即右边第三组轻），C.左边第二组轻（即右边第三组重）。

如果是A.两边一样重，那么判断问题球在1号，或2号，或3号球中，下面的分析处理还算容易。（留待后面详述）

但是，如果是两边不相等，那么，解题的关键就出来了。

一般的逻辑思考，已经不够用了。
需要进一步分析。

这一步骤的分析不做，你就不可能解题。


这就是要用到前面讲的运筹学分析方法。

首先，假定第二组、第三组中问题球是哪一个，是轻还是重，然后就可以得出假定状态下的二次天平秤称量比较的结果。
列出所有结果如下表：

4-8球重量异常状态分布第一、二次天平秤比较结果图

问题球 第一次 第二次 两次比较
轻重状态 1-4及5-8比较 4-6及7-9比较 反映结果
4轻 1-4<5-8 4-6<7-9 <,<
5轻 1-4>5-8 4-6<7-9 >,<
6轻 1-4>5-8 4-6<7-9 >,<
7轻 1-4>5-8 4-6>7-9 >,>
8轻 1-4>5-8 4-6>7-9 >,>
4重 1-4>5-8 4-6>7-9 >,>
5重 1-4<5-8 4-6>7-9 <,>
6重 1-4<5-8 4-6>7-9 <,>
7重 1-4<5-8 4-6<7-9 <,<
8重 1-4<5-8 4-6<7-9 <,<

在上表中，我们把两次称量比较时，左轻右重用<号表示，左重右轻用>号表示。

根据上表，如果我们两次称量的结果是<,<，那么，我们知道出现这种结果的可能性，一共有三种。（又是三！）
即4号球轻，或7号球重，或8号球重。
……
以此类推，我们知道，两次称量的结果可能有四种，分别对应4-8号5个球中有问题球的或轻或重共10种不同状态。

即：
<,< 对应： 4号球轻，或7号球重，或8号球重。
>,> 对应： 4号球重，或7号球轻，或8号球轻。
<,> 对应： 5号球重，或6号球重。
>,< 对应： 5号球轻，或6号球轻。
借助此运筹学分析结果，我们可以大大缩小分析范围，借此确定第三次天平秤比较时应该采用的取样分析方法，来最终得到分析结果。
待续。
继续。

首先前面，我们第一次天平秤比较1-4和5-8不相等时，判断问题球肯定在1-8号球中，
因此，我们把1-8号球再加入标准重的9号球，分三组，即1，2，3号球为第一组，4，5，6号球为第二组，7，8，9号球为第三组。

接着，第二次使用的判断方式是，取第二组4，5，6号球，和第三组7，8，9号球放在天平秤两端作比较。

当然会有三种可能的结果。（注意关键词“三”）
即A.两边一样重，B.左边第二组重（即右边第三组轻），C.左边第二组轻（即右边第三组重）。

先说如果是A.两边一样重，那么判断4，5，6和7，8，9相等，都是正常球，
因此问题球在第一组1号，或2号，或3号球中，
可以按下面的方式分析处理：

第三次，把1号球和2号球分别放在天平秤两端比较，
当然又会有三种可能的结果。（注意关键词“三”）
即1.两边一样重，2.左边1号球重（即右边2号球轻），3.左边1号球轻（即右边2号球重）。


如果
1。两边一样重，
那么接着还要看第一次天平秤比较的结果。（这个很重要哦）
a.如果第一次1-4号球左边轻，由于现在经过第二次的比较判断右边5-8号都是正常标准重球，
因此可以判断问题球在1-3号中，并且是轻于标准重的，因为1号和2号相等，

因此是3号球轻。

b.如果第一次1-4号球左边重，由于现在经过第二次的比较判断右边5-8号都是正常标准重球，
因此可以判断问题球在1-3号中，并且是重于标准重的，因为1号和2号相等，

因此是3号球重。




2。左边1号球重（即右边2号球轻），
那么接着还要看第一次天平秤比较的结果。（这个很重要哦）
a.如果第一次1-4号球左边轻，由于现在经过第二次的比较判断右边5-8号都是正常标准重球，
因此可以判断问题球在1-3号中，并且是轻于标准重的，因为第三次结果是2号球轻，

因此问题球是2号球轻。


b.如果第一次1-4号球左边重，由于现在经过第二次的比较判断右边5-8号都是正常标准重球，
因此可以判断问题球在1-3号中，并且是重于标准重的，因为第三次结果是1号球重，

因此问题球是1号球重。



3。左边1号球轻（即右边2号球重），
那么接着还要看第一次天平秤比较的结果。（这个很重要哦）
a.如果第一次1-4号球左边轻，由于现在经过第二次的比较判断右边5-8号都是正常标准重球，
因此可以判断问题球在1-3号中，并且是轻于标准重的，因为第三次结果是1号球轻，

因此问题球是1号球轻。


b.如果第一次1-4号球左边重，由于现在经过第二次的比较判断右边5-8号都是正常标准重球，
因此可以判断问题球在1-3号中，并且是重于标准重的，因为第三次结果是2号球重，

因此问题球是2号球重。



以上分析，又解决了1号，2号，3号球的轻、重各6种状态。


待续：
下面要分析剩下的4，5，6，7，8号球的轻、重各10种状态了。

继续，

首先前面，我们第一次天平秤比较1-4和5-8不相等时，判断问题球肯定在1-8号球中，

锤子

因此，我们把1-8号球再加入标准重的9号球，分三组，即1，2，3号球为第一组，4，5，6号球为第二组，7，8，9号球为第三组。

接着，第二次使用的判断方式是，取第二组4，5，6号球，和第三组7，8，9号球放在天平秤两端作比较。

当然会有三种可能的结果。（注意关键词“三”）
即A.两边一样重，B.左边第二组重（即右边第三组轻），C.左边第二组轻（即右边第三组重）。


当结果为第二次天平秤比较两边不相等是，
根据前面的分析推理，我们知道，两次称量的结果可能有四种，分别对应4-8号5个球中有问题球的或轻或重共10种不同状态。

即：
<,< 对应： 4号球轻，或7号球重，或8号球重。
>,> 对应： 4号球重，或7号球轻，或8号球轻。
<,> 对应： 5号球重，或6号球重。
>,< 对应： 5号球轻，或6号球轻。


因此，
当第一、第二次结果为<,<时，我们第三次只要比较7号和8号球，
当然会有三种可能的结果。（注意关键词“三”）
即
1.第三次7号和8号相等，根据前面运筹分析结论，结果是4号球轻。
2.左边7号重，根据前面运筹分析结论，结果是7号球重。
3.左边7号轻（即右边8号重），根据前面运筹分析结论，结果是8号球重。


当第一、第二次结果为>,>时，我们第三次只要比较7号和8号球，
当然会有三种可能的结果。（注意关键词“三”）
即
1.第三次7号和8号相等，根据前面运筹分析结论，结果是4号球重。
2.左边7号重（即右边8号轻），根据前面运筹分析结论，结果是8号球轻。
3.左边7号轻，根据前面运筹分析结论，结果是7号球轻。



当第一、第二次结果为<,>时，我们第三次只要比较5号和6号球哪个重就行了，
即
1.左边5号重，根据前面运筹分析结论，结果是5号球重。
3.左边5号轻（即右边6号重），根据前面运筹分析结论，结果是6号球重。



当第一、第二次结果为>,<时，我们第三次只要比较5号和6号球哪个轻就行了，
即
1.左边5号重（即右边6号轻），根据前面运筹分析结论，结果是6号球轻。
3.左边5号轻，根据前面运筹分析结论，结果是5号球轻。


以上分析，最后彻底解决了4号，5号，6号，7号，8号球的轻、重各10种状态。


到此为止，所有12球的轻、重各24种状态都已经明确了具体的判断条件，解题分析完毕。








首先在Excel中的A2到L2的12个单元格中输入12个相同的数字，如1，
接着再在其中任意一个单元格中改变数值使之大于或小于1来模拟重量不同，
然后把下面嵌套IF判断公式粘贴到任一空单元格，如M2位置上去，
就可以自动判断是哪个位置的单元格中数值不同，以及和标准值相比是大还是小了。
（我用的是Q代表轻，Z代表重）


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


前面happy_gemini说到本题还有多种解法，

其实万变不离其宗，不同之处在于当第一次1-4号球和5-8号球不相等时，
使用何种方式来安排第二次天平秤比较的分组取样方法。

应该有以下3种：
1。以3，4，5，6，7为一组，8，9，10，11，12为另一组。

2。以4，5，6，7为一组，8，9，10，11为另一组。

3。以4，5，6为一组，7，8，9为另一组。

分组不同，其运筹分析结果不同，因此第三次判断的取样方法也会相应变化而不同。



一。以3，4，5，6，7为一组，8，9，10，11，12为另一组时，有：

3-8球NG状态分布第一、二次比较结果图
第一次 第二次
NG状态 1-4及5-8比较 3-7及8-12比较 NG结果
3轻 1-4<5-8 3-7<8-12 <<
4轻 1-4<5-8 3-7<8-12 <<
5轻 1-4>5-8 3-7<8-12 ><
6轻 1-4>5-8 3-7<8-12 ><
7轻 1-4>5-8 3-7<8-12 ><
8轻 1-4>5-8 3-7>8-12 >>
3重 1-4>5-8 3-7>8-12 >>
4重 1-4>5-8 3-7>8-12 >>
5重 1-4<5-8 3-7>8-12 <>
6重 1-4<5-8 3-7>8-12 <>
7重 1-4<5-8 3-7>8-12 <>
8重 1-4<5-8 3-7<8-12 <<



二。以4，5，6，7为一组，8，9，10，11为另一组时，有：

4-8球NG状态分布第一、二次比较结果图
第一次 第二次
NG状态 1-4及5-8比较 4-7及8-11比较 NG结果
4轻 1-4<5-8 4-7<8-11 <<
5轻 1-4>5-8 4-7<8-11 ><
6轻 1-4>5-8 4-7<8-11 ><
7轻 1-4>5-8 4-7<8-11 ><
8轻 1-4>5-8 4-7>8-11 >>
4重 1-4>5-8 4-7>8-11 >>
5重 1-4<5-8 4-7>8-11 <>
6重 1-4<5-8 4-7>8-11 <>
7重 1-4<5-8 4-7>8-11 <>
8重 1-4<5-8 4-7<8-11 <<



三。以4，5，6为一组，7，8，9为另一组时，前面已经详细说明了。

4-8球NG状态分布第一、二次比较结果图
第一次 第二次
NG状态 1-4及5-8比较 4-6及7-9比较 NG结果
4轻 1-4<5-8 4-6<7-9 <<
5轻 1-4>5-8 4-6<7-9 ><
6轻 1-4>5-8 4-6<7-9 ><
7轻 1-4>5-8 4-6>7-9 >>
8轻 1-4>5-8 4-6>7-9 >>
4重 1-4>5-8 4-6>7-9 >>
5重 1-4<5-8 4-6>7-9 <>
6重 1-4<5-8 4-6>7-9 <>
7重 1-4<5-8 4-6<7-9 <<
8重 1-4<5-8 4-6<7-9 <<


我现在采用的是最后一组，应该是最简便的吧。


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