均值和极差图（X—R图）

飞天

在使用X—R图之前，必须作几点适当的准备：

·建立适合于实施的环境
除非管理者已准备好一个可靠的环境，否则任何统计方法都会失败。必须排除机构内阻碍人们公正的顾虑。管理者必须提供资源（人力和物力）来参与和支持改进措施。

·定义过程
必须根据过程与其周围的其他操作和上下使用者之间的关系，以及每个阶段的影响因素（人、设备、材料、方法和环境）来理解过程。因果分析图、过程流程表等技术可以使这些更加直观并且让理解过程的不同方面的人员的经验集中起来。

·确定作图的特性
用来确定这些特性的例子为通用公司的《关键特性命名系统》（参见附件H，参考文献24）。学习的重点应放在那些对过程改进有帮助的特性上[排列图（Pareto）原理的一个应用]。应适当考虑如下因素：

——顾客的需求：包括使用产品和服务作为输入的后续过程顾客和作为最终产品的顾客。了解这两种顾客的需求，询问他们过程何处需要改进，体现共同合作和理解的精神；

——当前的潜在问题区域：考虑存在的浪费或低效能力的证据（如：废品、返工、过长的加班时间、与目标值不符）以及有险情的区域（如：产品或服务的设计或过程中任何元素即将进行的变化）。这些是改进的机会，需要应用管理企业所涉及的知识；

——特性之间的相互关系：为了有效率及有效果地研究应利用特性间的关系。比如，如果关心的特性很难测量（比如体积），选择一个相关的容易测量的特性（比如重量）。另外，如果一具项目的几个单独的特性具有相同的变化趋势，可能只用一个特性来画图就足够了。注意：统计上的相关性不意味着变量之间存在因果关系。在缺乏现存过程的知识时，可能要设计一个试验来验证这些关系和重要性。

·定义测量系统
必须可操作地定义其特性，这样，今天就可以以与昨天意义一样的方式将数据送给所有有关人员。这包括指明应收集哪些信息，在何处、如何以及在什么条件下收集。测量设备的本身的准确性和精密性必须是可预测的。周期性校正是不够的。有关这一主题的详细介绍见第IV节。这个特性的定义将影响所使用的控制图的类型——计量数据控制图，例如X—R图，或计数型数据控制图，见第Ⅲ节描述。

·使不必要的变差最小化
在开始研究之前应消除不必要的变差外部原因。这一点可能简单地意味着观察过程按预定的方式运行，或意味着用已知的输入材料恒定的控制设定值进行控制的研究。目的是避免甚至不用控制图就能纠正的明显问题、这些包括过度的过程调整或过度控制等。在所有情况下，过程记录表上应坚持记录所有相关事件，例如：刀具更换、新的原材料批次等，这将有利于下一步的过程分析。

A．收集数据
成对使用的X—R图是从对过程输出的特性的测量发展而来的。这些数据是以样本容量恒定的小子组的形式报出的，这种子组通常包括2~5件连续的产品，并周期性的抽取子组（例如：每15分钟抽样一次，每班抽样两次等）。应制定一个收集数据的计划并将它作为收集、记录及将数据画到控制图上的依据。

A．1 选择子组大小、频率和数据
a.子组大小——计量型控制图的第一关键步骤就是“合理子组”的确定——这一点将决定控制图的效果及效率。

选择子组应使得一个子组内在该单元中的各样之间出现变差的机会小。如果一个子组内的变差代表很短时间内的零件间的变差，则在子组之间出现不正常的变差则表明过程发生变化，应进行调查并采取适当的措施。

在过程的初期研究中，子组一般由4到5件连续生产的组合，仅代表单一刀具、冲头、模槽（型腔）等生产出的零件（即一个单一的过程流）。这样做的目的是每个子组内的零件都是在很短的时间间隔内及非常相似的生产条件下生产出来的并且相互之间砂存在其他的系统的关系。因此，每个子组内的变差主要应是普通原因造成的。当这些条件不满足时，最后的控制图可能不会有效地区分变差的特殊原因，或可能出现本节C.1.a和 C.4.c中所述的异常图形。对于所有的子组样本的容量应保持恒定。

b.子组频率——其目的是检查经过一段时间后过程中的变化。应当在适当的时间收集足够的子组，这样子组才能反映潜在的变化。这些变化的潜在原因可能是换班、或操作人员更换、温升趋势、材料批次等原因造成的。

在过程的初期研究中，通常是连续进行分组或很短的时间间隔进行分组，以便检查过程在很短的时间间隔内是否有其它不稳定的因素存在。当证明过程已处于稳定状态（或已对过程进行改进），子组间的时间间隔可能增加。对正在生产的的产品进行监测的子组频率可以是每班两次、每小时一次或其他可行的频率。

c.子组数的大小——子组数的大小应满足两个原则，从过程的角度来看，收集越多的子组可以确保变差的主要原因有机会出现，一般情况下，包含100或更多单值读数的25或更多个子组可以很好地用来检验稳定性，如果过程已稳定，则可以得到过程位置和分布宽度的有效的估计值。

在有些情况下，可以利用现有的数据来加速这个第一阶段的研究。然而，只有它们是最近的，并且对建立子组的基础很清楚的情况下才能使用。

A．2 建立控制图及记录原始数据

X—R图通常是将X图画在R图之上方，下面再接一个数据栏。X和R的值为纵坐标，按时间先后的子组为横坐标，数据值以及极差和均值点应纵向对齐。

数据栏应包括每个读数的空间。同时还应包括记录读数的和、均值（X）、极差（R）以及日期/时间或其他识别子组的代码空间。

填入每个子组的单个读数及识别代码。

A．3 计算每个子组的均值（X）和极差（R）

画在控制图上的特性量是每个子组的样本均值（X）和样本极差（R），合在一起后它们分别反映整个过程的均值及其变差。

A．4 选择控制图的刻度

两个控制图的纵坐标分别用于X和R的测量值，用于确定刻度值的一些通用的指南是有帮助的，尽管它们在特殊情况下可能要修改。对于X图，坐标上的刻度值的最大值与最小值之差应少为子组均值（X）的最大与最小值差的2倍。对于R图，刻度值应从最低值0开始到最大值之间的差值为初始阶段所遇到的最大极差（R）的2倍。

注：一个有用的意见是将R图的刻度值设置为均值图的刻度值的2倍（例如：平均值图上1个刻度代表0.01英寸，则在极端差图上1刻度代表0.02英寸，在一般的子组大小情况下，均值和极差的控制限将具有大约相同的宽度，给分析以直观的帮助。

A．5 将均值和极差画到控制图上

将均值和极差分别画在其各自的图上。该工作在确定了刻度以后尽快完成。将各点用直线联接起来从而得到可见的图形趋势。

简要地浏览一下所有画上去的点，看它们是否合理，如果有的点比别的点高得很鑫或低得很多，需确认计算及图是否正确的，应确保所画的X和R点在纵向是对应的。

注：为了再次强调生产现场的所有控制限的控制图的应用，还没有计算控制限（由于没有足够的数据）的初期操作控制图上应清楚地注明“初始研究”字样。这样，这些标有“初始研究”的控制图，不论是用于能力的初次确定还是用于过程经过改进/改变后的研究，是仅允许用在生产现场中还没有控制限的过程控制图。

B．计算控制限

首先计算极差图的控制限，再计算均值图的控制限，计量型数据的控制图的控制限的计算要使用下列公式中的字母表示的系数。这些系数随着子组大小（n）的不同而不同

C．过程控制解释

对控制限的解释如下：如果过程的零件间的变异性和过程均值保持在现有的水平（如分别通过R和X来估计的），单个的子组极差（R）和均值（X）会单独地随机变化，但它们会很少超过控制限。而且，数据中不会出现与由于随机变化产生的图形有明显不同的图形与趋势。分析控制图的目的在于识别过程变化性的任何证据或过程均值没有处于恒定的水平的证据——即其中之一或两者均不受统计控制——进而采取适当的措施。R图和X图应分别分析，但是对两个图形进行比较时，有时可以帮助深入了解影响过程的特殊原因。

C．1 分析极差图上的数据点

由于不论解释子组极差或子组均值的能力都取决于零件间的变差。因此首先分析R图。将数据点与控制限相比确定超出控制限的点或非随机的图形或趋势。

a. 超出控制限的点——出现一个或多个点超出任何一个控制限是该点处于失控状态的主要证据。因为在只存在普通原因引起变差的情况下超出控制限的点会很少，我们便假设该超出的是由于特殊原因造成的。因此，任何超出控制限的点是立即进行分析，找出存在特殊原因的信号。给任何超出控制限的点作标记，以便根据特殊原因实际开始的时间进行调查，采取纠正措施（见本节c.2段）。

超出极差上控制限的点通常说明存在下列情况中的一种或几种：

·控制限计算错误或描点时描错；
·零件间的变化性或分布的宽度已经增大（即变坏），这种增大的可以发生在某个时间点上，也可能是整个趋势的一部分；
·测量系统变化（例如，不同的检验员或量具）；
·测量系统没有适当的分辨力。
有一点位于控制限之下（对于样本容量大于等于7的情况），说明存在下列情况的一种或几种：
·控制限或描点错误；
·分布的宽度变小（即变好）；
·测量系统已改变（包括数据编辑或变换）。

控制限之内的图形或趋势——当出现非随机的图形或趋势时，尽管所有的极差都在控制限之内，也表明出现这种图形或趋势的时期内过程失迭或过程分布宽度发生变化。这种情况会给出首次警告：应纠正不利条件。相反，某些图形或趋势是好的，并且应当研究以便使过程得到可能的永久性改进。比较极差和均值图的图形也可以更深刻地理解。

b.链——在下列现象之一表明过程已改变或出现这种趋势：

·连续7点位于平均值的一侧；

·连续7点上升（后续等于或大于前点）或下降；
标记促使人们作出决定的点，并从这点做一条参考线延伸到链的开始点将是有帮助的。分析时应考虑开始出现改变或趋势的大致时间。
高于平均极差的链或上升说明存在下列情况之一或全部：

·输出值的分布宽度增加，其原因可观胆无规律的（例如设备工作不正常或固定松动）或是由于过程中的某个要素变化（例如，使用新的不是很一致的原材料），这些都是常见的问题，需要纠正；

·测量系统改变（例如，新的检验员或量具）。

飞天

低于平均极差的链，或下降链表明存在下列情况之一或全部：

·输出值分布宽度减小，这常常是一个好状态，应研究以便推广应用和改进过程；

·测量系统改变，这样会遮掩过程真实性能的变化。
注：当子组数（n）变得更小（5或更小）时，低于R的链的可能性增加，则8点或更多点组成的链才能表明过程变差减小。

c．明显的非随机图形——除了会出现超过控制界的点或长链之外，数据中还可能出现其他的易分辨的由于特殊原因造成的图形。注意不要过分地解释数据，因为即使随机的数据（即普通原因）有时也可能表现出非随机（即出现特殊原因）的假象。非随机的图形例子：明显的趋势（尽管它们不属于链的情况），周期性，数据点的分布在整个控制限内，或子组内数据间有规律的关系等（例如：第一个读数可能总是最大值）。下列介绍一种验证子组内数据点的总体分布的准则：

各点与R的距离：一般地，大约2/3的描点应落在控制限的中间三分之一的区域内，大约1/3的点落在其外的三分之二的区域。

如果显著多于2/3以上的描点落在离R很近之处（对于25个子组，如果超过90%的点落在控制限三分之一的区域），则应对下列情况的一种或更多进行调查：

·控制限或描点已计算错或描错；

·过程或取亲方法被分层；每个子组系统化包含了从两个或多个具有完全不同的过程均值的过程流的测量值（例如：从几组轴中，每组抽一根，测取数据）*；

·数据已经过编辑（极差与均值相差甚远的几个子组被更改或剔除）。

如果显著少于2/3以下的描点落在离R很近的区域（对于25个子组，如果有40%或少于40%的点落在中间三分之一的区域），则应对下列情况的一种或两种进行调查：

·控制限或描点计算错或描错；

·过程或抽样方法造成连续的分组中包含从两个或多个具有明显不同的变化性的过程流的测量值（例如：输入材料批次混淆）。*
如果存在几个过程流，应分别识别和追踪。*

C．2 识别并标注特殊原因（极差图）（见图14）

对于极差数据内每个特殊原因进行标注，作一个过程操作分析，从而确定该原因并改进对过程的理解；纠正条件并且防止它再发生。控制图本身就是问题分析的有用的工具，能提示何时该条件开始以及该条件持续多长时间。但是应意识到并不是所有的特殊原因都是有害的，有些特殊原因可以通过减少极差的变差而对过程改进起到积极作用。应对这些特殊原因进行评定。以便在过程的适当地方使之固定下来。
为了将生产的不合格输出减到最小以及获得诊断用的新证据，及时分析问题是很重要的。例如：出现一个超过控制限的点就是立即开始分析过程的理由。对识别变差的特殊原因来说过程记录表可能也是一具有用的信息源。
应强调提解决问题通常是最困难最费时的一步。来自控制图的统计输入可以是一个合适的开始点，但其它的方法例如排列图，因果图或其他的图形分析法也是很有帮助的（参见附录H，参考文献11）。然而，对状态的解释最终在于过程以及与之有关的人。在对过程采取可显著改进性能的措施时，需要有彻底性、耐性、洞察力和理解力。

C．3 重新计算控制限（极差图）（见图14）

在进行初次过程研究或重新评定过程能力时，失控的原因已被识别和消除或制度化，然后应重新计算控制限，以排除失控时期的影响。排除所有受已被识别并解决或固定下来的特殊原因影响的子组。然后重新计算新的平均极差（R）和控制限，并画下来。确保当所有的极差与新的控制限比较时，表现为受控，如有必要重复识别/纠正/重新计算的过程。
由于出现特殊原因而从R图中去掉的子组，也应从X图中去掉。修改后的R和X可用于重新计算均值的试验控制限，X±A2R。
注：排除代表不稳定条件的子组并不仅是“丢弃坏数据”。而是排除受已知的特殊原因影响的点，我们有普通原因引起的变差的基本水平的更好估计值。这为用来检验将来出现变差的特殊原因的控制限提供了最适当的依据。但是要记住：一定要改变过程，以使特殊原因不会作为过程的一部分重现（如果不希望它出现的话）。

图15 X图——超出控制限的点

C．4 分析均值图上的数据点
当极差受统计控制时，则认为过程的分布宽度——子组内的变差——是稳定的。然后应对均值进行分析看看在此期间过程的位置是否改变。由于X的控制限取决于极差图中变差大小，因此如果均值处于统计控制状态，其变差便与极差图中的变差——系统的普通原因变差有关。如果均值没有受控，则存在造成过程位置不稳定的特殊原因变差。

a. 超出控制限的点（见图15）——出现一点或多点超出任一控制限就证明在这点出现特殊原因。这是立即对操作进行分析的信号在控制图上标注的这样的数据点。（见第35页）。

一点超过任一控制限通常表明存在下列情况之一或更多：
·控制限或描点错误；
·过程已改变，或是在当时的那一点（可能是一件独立的事件）或是一种趋势的一部分；
·测量系统发生变化（例如：不同量具或检验员）。
控制限之内的图形或趋势——出现非随机图形或趋势证明在这和图形或趋势出现的时期内过程失控。比较极差图和均值图的图形是有帮助的。
b. 链（见图16）——下列每一种情况都表明过程已开始变化或有变化的趋势：
·连续7点在平均值的一侧；
·7点连续上升或下降。
标注这些促使人们作出决定的点；从该点做一条参考线延伸到链的开始点，分析时应考虑开始出现变化趋势或变化的时间。
与过程均值有关的链通常表明出现下列情况之一或两者：
·过程均值已改变——也许还在变化；
·测量系统已改变（飘移、偏倚、灵敏度等）。

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